代數閉包

有些體是「漏」的：你可以寫下一個多項式，它的根在這個體裡根本找不到。一個體的代數閉包就是一次性堵住所有這種漏洞的結果——一個最小的擴張，在其中每個次數至少為一的多項式終於擁有了它的全部根。一旦置身閉包之中，沒有任何多項式能逃過你。

確切地說，體 K 的代數閉包是 K 的一個代數擴張，且它是代數閉的，意即其中每個非常數多項式都完全分解為一次因式。每個體都有代數閉包，且在同構意義下唯一，所以我們說「那個」代數閉包，常記作 K 上加一橫。

閉包只由代數元素——K 上多項式的根——構成，因此不添加任何超越數。複數對實數扮演這個角色：代數基本定理說 C 是代數閉的。但 C 並不是有理數的代數閉包；那個閉包是更小的全體代數數構成的體，它不含像 pi 這樣的超越數。