代數基本定理

代數基本定理是這樣一個保證：複數「足夠大」。它說，任何次數至少為一、係數為複數的多項式方程式都至少有一個複數解。無論多項式多麼棘手，你都不必再發明又一種新的數來求解它——複數裡已經含有一個根。

由這一陳述經反覆因式分解可得更強的事實：一個 n 次多項式恰有 n 個複根，前提是按每個根重複出現的次數（其重數）來計數。等價地，每個這樣的多項式都能在複數上完全分解成線性因式。這正是數學家說複數是代數封閉的原因。

兩點誠實的提醒。其一，定理保證根存在，卻不給你求根的公式；而對五次及更高次，不存在用根式表示的一般公式。其二，這個名字略有誤導——所有已知證明都依賴分析或拓撲的思想，而非僅靠代數。