五次方程式的不可解性

對二次、三次和四次方程式，數學家最終找到了萬能公式，只用算術與開方便能從係數算出根。三百年間人們一直在尋找五次的類比公式。令人震驚的答案是：這樣的公式根本不可能存在——不是因為難找，而是因為它不可能。

確切地說，阿貝爾–魯菲尼定理斷言：不存在一個一般的根式公式，能僅用係數、四則運算與開方解出每一個五次方程式。同樣的不可能性對五次及更高次的每一個次數都成立。伽羅瓦理論指明了原因：一般五次方程式的伽羅瓦群是 5 元對稱群，而這個群不可解。

兩點誠實的提醒。第一，這並不是說五次方程式沒有根——由代數基本定理它們總是有根，數值方法也能求出。第二，這也不是說沒有任何具體的五次方程式可解：像 x^5 - 2 = 0 這樣的特殊方程式是可解的。該定理排除的是一個對所有五次方程式都通用的單一根式公式。