伽羅瓦理論

伽羅瓦理論的發現在於：關於多項式方程式的難題，在對稱群的世界裡有一個隱秘而更容易的對應物。你不必直接和方程式的根糾纏，而是研究這些根在不破壞任何算術的前提下可以如何洗牌，而被允許的洗牌方式所呈現的模式，會告訴你想知道的一切。

更確切地說，伽羅瓦理論把一個體擴張和一個對稱性的群（它的伽羅瓦群）聯繫起來，並把關於子體、根與可解性的陳述翻譯成關於子群、不動集與群結構的陳述。一個在體的語言中看似難以下手的問題，在有限群的語言中可能變成一次例行的檢驗。

它最著名的成就是精確地解釋了哪些方程式可以用根式求解——即只用體運算外加開方。答案是：恰好那些伽羅瓦群在技術意義上「可解」的方程式。這正是為什麼一般的五次方程式沒有根式公式，而每個二次、三次、四次方程式都有。