伽羅瓦群

當你擴張一個體時，多出來的元素往往帶有隱藏的對稱性：可能存在好幾種方式重新排列它們，既尊重全部算術，又讓原來的體紋絲不動。伽羅瓦群把這次擴張的所有這些對稱性收進同一個群，於是擴張的幾何就變成了一個群的代數。

確切地說，對體擴張 L/K，伽羅瓦群，記作 Gal(L/K)，是 L 上保持 K 中每個元素不動的全體自同構所構成的群。每個這樣的自同構都置換多項式的根，卻從不擾動 K 中任何東西。在複合下，這些自同構構成一個群，恆等映射為其單位元。

當 L 是 K 的伽羅瓦擴張時——即同時是正規且可分的——伽羅瓦群最為強大。此時群的階等於擴張的次數，並且這個群恰好編碼了根之間可以如何一致地互換。這正是把關於方程式的問題轉化為關於有限群的問題的橋樑。