抽象代數：群、環與域
群
群是用數學語言對「對稱」和「可逆操作」的捕捉。想想你能用多少種方式旋轉一個正方形而讓它看上去沒變，或者魔方的所有招式：你可以把兩招合成一招，「什麼都不做」永遠是一個選項，而且每一招都能被還原。任何具備這些特徵的系統都是一個群，無論它的元素究竟是什麼。
形式地說，群是一個集合 G 連同一個二元運算 *，滿足四條規則：封閉性（a * b 總在 G 中）、結合律（(a * b) * c = a * (b * c)）、存在單位元 e 使得對所有 a 有 e * a = a * e = a，以及逆元（每個 a 都有某個 b 使 a * b = b * a = e）。這就是定義的全部——四個簡短的條件，卻由此推出驚人多的數學。
群無處不在：加法下的整數，乘法下的非零分數，圖形的對稱，紙牌的洗法。抽象定義的威力在於：一條關於「任意群」的定理立刻同時適用於所有這些情形。注意群只需一個運算；該運算不必可交換，而當它可交換時，我們給這個群一個專門的名字——阿貝爾群。
整數在加法下構成群：封閉（m + n 是整數）、結合、單位元為 0，且 n 的逆元是 -n，因為 n + (-n) = 0。而同樣的整數在乘法下不是群，因為 2 沒有整數乘法逆元。
(ℤ, +) 是群；(ℤ, ×) 不是。
一個常見的失誤是要求可交換性。群不必可交換——正方形的對稱和紙牌的洗法確實是不可交換的。可交換性是一條額外的、可選的性質（阿貝爾），並不在四條公理之內。
另見