抽象代數：群、環與域
二元運算
二元運算就像一台機器：從一個集合裡取兩樣東西，吐出一樣東西——理想情況下吐出的東西仍在同一個集合裡。普通的加法就是數上的二元運算：餵給它 3 和 5，它回傳 8。乘法也是，把一個旋轉疊加到另一個旋轉上也是。「二元」一詞只是說它恰好接受兩個輸入。
更精確地說，集合 S 上的二元運算是一個函數，它給 S 中每一個有序對 (a, b) 指定 S 中唯一一個元素，通常記作 a * b。關鍵要求是封閉性：結果必須落回 S 之內。減法是整數上的二元運算（3 - 5 = -2 仍是整數），但不是自然數上的二元運算，因為 3 - 5 已經離開了那個集合。
順序可能要緊：a * b 不一定等於 b * a（想想減法，或想想以不同次序做兩個旋轉）。如果順序從不影響結果，就稱這個運算是可交換的。抽象代數幾乎全部都在研究配備了一到兩個良好二元運算的集合，所以這就是群、環、域共同生長出來的種子。
在集合 {0, 1, 2} 上定義 a * b = (a + b) mod 3。則 2 * 2 = (4) mod 3 = 1，結果仍在 {0, 1, 2} 中，所以這是該集合上的一個二元運算。
模 3 加法——在三元素集合上封閉。
封閉性是定義的一部分，不是額外的好處：如果 a * b 可能落在 S 之外，那麼 * 根本就不是 S 上的二元運算。務必同時檢查：答案總是存在，並且總是留在集合之內。
又稱
另見