子群

子群是住在更大群裡、用同一個運算的群。想像一個小齒輪在大齒輪內轉動：它本身自成一體、完整無缺，卻又是周圍結構的一部分。偶數就這樣住在全體整數裡——兩個偶數相加仍得偶數。

形式地說，群 G 的子集 H 若在 G 的運算下本身構成群，則 H 是子群。實際操作中你要檢查三點：H 含有單位元；H 對運算封閉（H 中兩元素結合仍在 H 中）；H 對取逆封閉（H 中任意元素的逆元也在 H 中）。每個群至少有兩個子群：整個群，以及只含單位元的平凡子群。

子群把一個群組織成可理解的若干部分。它們是陪集、商群以及拉格朗日定理的來源——後者說有限子群的大小必須整除整個群的大小。一個對運算封閉、卻缺少逆元或單位元的子集不是子群——這三個條件缺一不可。