群公理

群公理就是那張四項清單，用來判定一個帶運算的集合配不配叫「群」。把它們想成一次品質檢查：任何候選者都必須四項全過才能獲准入選。它們短到可以背下來，卻又強到足以從中擠出整個群論。

這四條是：（1）封閉性——對 G 中所有 a, b，a * b 也在 G 中。（2）結合律——對所有 a, b, c 有 (a * b) * c = a * (b * c)。（3）單位元——存在元素 e 使對每個 a 有 e * a = a * e = a。（4）逆元——對每個 a 存在元素 b 使 a * b = b * a = e。（封閉性有時被併入運算本身的定義，從而只剩三條公理；無論哪種說法，要求都相同。）

兩個著名的推論幾乎是免費得到的：單位元唯一，每個元素的逆元唯一。被刻意省去的是可交換性（a * b = b * a）——它不是必需的，滿足它的群被另外授予阿貝爾的稱號。每當遇到一個新的候選結構，逐一核對這四項就是標準的第一步。