抽象代數：群、環與域
逆元
逆元是另一個元素的「撤銷鍵」：把兩者結合，你恰好落在單位元上，彷彿什麼都沒發生過。如果一個動作把正方形順時針旋轉 90 度，它的逆元就把它逆時針旋轉 90 度。逆元的全部意義就在於抵消掉，回到起點。
形式地說，在以 e 為單位元的群中，元素 a 的逆元是滿足 a * b = b * a = e 的元素 b。第四條群公理保證每個元素都有逆元。藉助結合律，逆元唯一，因此我們可以放心地把它寫成 a⁻¹（當運算用加法書寫時則寫成 -a）。
逆元正是讓群關乎可逆過程的東西——每個動作都能被撤銷。要小心：逆元取決於運算。在加法下，5 的逆元是 -5；在乘法下，5 的逆元是 1/5。而數 0 有加法逆元，卻沒有乘法逆元，這正是你不能除以零的原因。
在模 7 乘法中，3 的逆元是 5，因為 3 · 5 = 15 = 14 + 1 ≡ 1 (mod 7)。所以在這個群裡，5「撤銷」了乘以 3 的運算。
在 (ℤ/7ℤ)* 中 3⁻¹ = 5。
關於乘積有一個好用的恆等式：(a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹，順序要顛倒過來——就像脫鞋襪的順序與穿的順序相反。在非阿貝爾群中順序是要緊的，所以別習慣性地寫成 a⁻¹ * b⁻¹。
另見