群的單位元

群的單位元是它的「什麼都不做」元素：把任何東西與它結合，那東西原封不動地回來。對加法，單位元是 0（n + 0 = n）；對乘法，是 1（n · 1 = n）；對圖形的對稱，則是讓圖形保持原樣的那個動作。每個群都必須有一個單位元。

形式地說，單位元是滿足對群中每個 a 都有 e * a = a * e = a 的元素 e。第三條群公理要求它存在，而一個簡短的證明表明它必定唯一：若有兩個元素都像單位元那樣起作用，它們就必須相等。所以一個群恰有一個單位元，不多不少。

單位元是整個理論其餘部分的錨點：逆元是相對於它定義的（當 a * b = e 時 b 是 a 的逆元），而元素的階則用「要施加多少次才回到 e」來度量。沒有一個固定的參照點，這兩個概念都將無從談起。