拉格朗日定理

拉格朗日定理是有限群的一條簡潔的整除律：任何子群的大小都必須整除整個群的大小，不留餘數。如果一個群有 12 個元素，那麼每個子群必須有 1、2、3、4、6 或 12 個元素——大小為 5 的子群根本不可能存在。這是初學者在群論中遇到的最早的、既出人意料又強有力的事實之一。

形式地說，若 G 是有限群、H 是子群，則 H 的階整除 G 的階。證明的辦法是把 G 切成若干個等大小的、由 H 平移而來的副本，稱為陪集：這些副本互不相交、大小相同，合起來恰好填滿 G，所以 H 的元素個數必定能把 G 的元素個數整除。

由此推論接連而來。由於每個元素生成一個循環子群，其大小是該元素的階，故元素的階也必整除群的階。從這裡很快可以證明數論中的費馬小定理。關於逆命題要提醒一句：群的階的一個因子未必對應一個真實存在的子群——拉格朗日定理給出限制，卻不保證存在性。