對稱群

對稱群是把一組對象重新排列的所有可能方式所構成的群。設想有 n 把標號的椅子和 n 個人：對稱群的一個元素就是一份完整的座位安排，把兩個元素結合就意味著先做一次重排、再做一次。它把 n 個東西的所有置換收進單一結構，記作 Sₙ。

形式地說，Sₙ 是從一個 n 元素集合到自身的所有雙射所成的集合，運算為函數複合。它的大小是 n 的階乘，n! = n · (n-1) · … · 2 · 1，因為第一個對象的去向有 n 種選擇，下一個有 n-1 種，依此類推。複合是結合的，恆等置換什麼都不做，每個重排都能被還原——所以群公理全部成立。

對稱群之所以居於核心，是因為凱萊定理：每個有限群都是某個 Sₙ 的子群，所以理解對稱群就等於換個面貌理解了所有有限群。當 n 至少為 3 時，Sₙ 是非阿貝爾的——你執行兩次重排的先後順序確實要緊。