置換

置換就是一次重排——把一組事物徹底打亂重擺，每件東西都搬到某個位置，沒有位置空著，也沒有位置被占兩次。發一副洗過的牌、給一桌客人重新安排座位、把一個單詞的字母打亂，都是置換。關鍵在於不丟失也不重複；同樣的那些東西以新的次序落定。

形式地說，集合的一個置換是從集合到自身的雙射：一個既是單射（沒有兩個輸入共用同一個輸出）又是滿射（每個元素都被取到）的函數。正因為這兩條性質，每個置換都能被一個逆置換還原，而兩個置換複合又給出第三個——這正是置換構成對稱群的原因。

數學家常用輪換記號書寫置換，例如 (1 3 2)，意思是 1 去到 3，3 去到 2，2 回到 1。每個置換都能分解為互不相交的輪換，也能由簡單的對換（兩兩交換）拼出；它用的對換次數是偶是奇，是一個固定的不變量，稱為它的奇偶性，它把 Sₙ 分成「偶」「奇」兩半。