函數

可以把函數想成一台可靠的機器：你放進一個輸入，它就交還給你恰好一個輸出。放進 3，每一次都得到同樣的答案。它最核心的承諾就是這種「唯一性」——同一個輸入絕不會產生兩個不同的答案。如果一台自動販賣機今天給你汽水、明天對同一個按鈕給你洋芋片，那它就不是函數。

嚴格地說，從集合 A 到集合 B 的函數 f 為 A 中的每個元素指定 B 中恰好一個元素，記作 f: A → B。關鍵詞是「恰好一個」：每個允許的輸入都必須有輸出，而且只能有一個。許多不同的輸入可以共享同一個輸出（這是允許的），但單個輸入絕不能分裂成兩個輸出。

函數是代數乃至全部高等數學的核心對象。一旦你能描述一個量如何依賴於另一個量——距離依賴時間、成本依賴數量、面積依賴邊長——你就有了一個函數，於是圖像、變換、反函數這一整套工具就都可以用來研究它了。