循環群

循環群是一種能從單個元素出發、靠對它反覆施加運算就完全生成出來的群。想像鐘面上的小時：從「走一步」開始不斷重複，最終會走遍每一個小時，然後繞回起點。一個起始動作就足以到達整個結構。

形式地說，若存在一個元素 g（稱為生成元），使得 G 的每個元素都是某整數 n 的冪 g^n（在加法記號下則是倍數 n·g），則群 G 是循環的。有限循環群與模 n 加法下的整數完全一樣；唯一的無限循環群是加法下的整數，由 1 生成。

每個循環群都自動是阿貝爾群，因為同一元素的冪總可交換（g^m · g^n = g^(m+n) = g^n · g^m）。反之不成立：許多阿貝爾群並不是循環的。循環群是最簡單的非平凡群，也是理解一切有限阿貝爾群的基本構件。