伽羅瓦理論基本定理

在一個伽羅瓦擴張內部，通常在基體與頂層之間堆疊著許多中間體——而在它的伽羅瓦群內部又有許多子群。基本定理斷言：這兩個集合彼此是完美的鏡像：每個中間體恰好對應一個子群，反之亦然，構成一部整潔可逆的字典。

確切地說，對伽羅瓦群為 G 的有限伽羅瓦擴張 L/K，在滿足 K ⊆ F ⊆ L 的諸體 F 與 G 的諸子群 H 之間，存在一個一一的、保持包含關係反序的對應。對體 F，指派保持 F 不動的那個自同構子群；對子群 H，指派它的不動體。更大的體對應更小的子群，這正是「反序」的含義。

這部字典還帶有額外結構：L 在某中間體上的次數等於其對應子群的階；而一個中間體本身是 K 的正規（伽羅瓦）擴張，當且僅當它對應的子群是 G 的正規子群——此時較小的伽羅瓦群是一個商群。這正是伽羅瓦理論幾乎所有應用背後的引擎。