根式可解性

一個多項式方程式稱為根式可解的，如果你能只用日常材料寫出它的根——即你出發時的那些數、四則運算，以及任意深度嵌套的開方（平方根、立方根等等）。一元二次方程式的求根公式就是著名例子：它的根來自對係數施行一次平方根。

確切地說，體 K 上的方程式稱為根式可解，如果它的根落在某個擴張塔 K = K0 ⊆ K1 ⊆ ... ⊆ Kn 中，其中每一步 Ki+1 都是把某個已有元素的 n 次方根添加到 Ki 上得到的。伽羅瓦定理把這個條件群論化了：方程式根式可解，當且僅當它的伽羅瓦群是可解群——一種能被拆解為若干阿貝爾（可交換）片段的群。

這是關於公式的陳述，而非關於根是否存在。由代數基本定理，每個次數至少為一的多項式在複數中都有根。根式可解性追問的是更尖銳的問題：這些根能否用一個僅由算術與開方構成的有限公式表達？對一般的五次方程式乃至更高次，答案是否定的。