分裂體

取一個在你的體上拒絕完全分解的多項式——也許它在那裡根本沒有根。分裂體就是這個體的最小擴大，在其中該多項式終於徹底裂開為一次因式的乘積，使它的所有根都變得可用。你恰好造出所需的餘地，不多不少。

確切地說，給定係數在體 K 中的多項式 f(x)，f 在 K 上的分裂體是一個擴張 L，在其中 f 分解為一次因式的乘積（即「分裂」），並且 L 由 f 的根在 K 上生成——也就是說 L 是最小的這樣的體。在同構意義下這個最小體是唯一的，所以我們可以談「那個」分裂體。

分裂體是伽羅瓦理論真正的起點：分裂體中根的對稱性構成伽羅瓦群。由於該體由根生成且包含全部根，這些對稱性把根彼此置換，研究這種置換作用正是該理論提取多項式資訊的方式。