不可約多項式

正如質數 7 無法拆成更小的整數因數,不可約多項式也無法在你被允許使用的數系內拆成若干個次數更低的多項式之積。它是因式分解的死胡同,認出它就意味著停止搜索、改用別的工具。

關鍵短語是「在給定數系內」,因為是否不可約取決於你允許使用哪些數。例如 x^2 - 2 在有理數範圍內不可約(不存在有理分解),但在實數範圍內可分解為 (x - sqrt(2))(x + sqrt(2))。同樣,x^2 + 1 在實數範圍內不可約,卻能在複數範圍內分解為 (x + i)(x - i)。所以「不可約」總是相對於某個範圍而言。

在普通代數課裡,說一個二次三項式不可約,通常指它沒有整數(或有理數)係數的分解——等價地說,它的判別式不是完全平方數。這正是你該改用求根公式或配方法去求它的無理根或複根的信號。