無理數

有些數無論你怎樣努力，都拒絕被寫成一個乾淨的分數。它們的小數無窮無盡地寫下去，卻始終不落入任何循環的規律。這些就是無理數——它們是真實存在於數軸上的量，卻能從每一次想把它們寫成比的嘗試中溜走。

正式地說，無理數就是無法寫成兩個整數之比的實數。最著名的例子是 sqrt(2)（單位正方形的對角線）、pi（圓周長與直徑之比）以及 e。它們的小數展開既無窮又不循環，所以你永遠無法把它們完整寫出，也無法寫成分數 a/b。

古希臘人證明了一個驚人的事實：sqrt(2) 是無理數——假設它等於一個最簡分數，會推出矛盾。更令人意外的是，無理數比有理數「多」得多——在數軸上任意兩點之間，到處都是無理數。有理數和無理數合在一起就構成全部實數，而兩者之間沒有任何重疊。