實數

想像一把筆直、無盡、處處沒有空隙的尺子。它上面的每一個點——無論落在像 2 這樣的整齊刻度上、像 3/4 這樣的分數上，還是像 pi 這樣無盡的小數上——都代表一個實數。實數就是住在這條數軸上的全部數。

更準確地說，實數由全體有理數連同全體無理數組成；數軸上的每個數非此即彼。實數支援加法、減法、乘法，以及除以非零數的運算，並且是完全有序的，因此任意兩個實數之間，必有其一小於、等於或大於另一個。

實數的一個本質特徵是它沒有空洞：任意兩個實數之間總還夾著另一個實數，而且這條數軸在「完備」的意義上是連續的，即實數序列的極限仍是實數。一個需要坦白的局限是：負數的平方根不是實數，因為沒有任何實數的平方會得到負數——處理這類情形需要虛數與複數。