素譜

格羅滕迪克的革命性想法是:把任意交換環都當作某個空間上的函數環來對待,再從環本身製造出那個空間。這個空間的點不只是經典的解點,而是所有素理想,這使該構造對每個交換環都奏效,即便環帶冪零元或根本沒有經典點。

對交換環 R,素譜 Spec R 是 R 的全部素理想之集,配以扎里斯基拓撲,其閉集為 V(I) = { 包含理想 I 的素理想 p }。極大理想是閉點,在代數閉域上對應於簇的經典點;非極大的素理想是額外的一般點,它們把空間「增肥」,以記住不可約子簇。

Spec 是一個反變函子:環同態 R 到 S 通過拉回素理想誘導連續映射 Spec S 到 Spec R,因為素理想的原像是素理想。連同其結構層,Spec R 成為局部環化空間,即附屬於 R 的仿射概形,而這些仿射片是黏合成一般概形的積木。這正是「環即空間上的函數」這一說法的精確含義。