在素理想處的局部化

幾何是局部的：要理解一條曲線在某點附近的樣子，你放大該點而無視別處發生的一切。在素理想處局部化就是代數的變焦鏡頭。你取一個素理想 p——把它想成一個點——並使每個在該點不為零的函數都可逆，於是只有該環在無窮靠近這單一點處的行為得以存留。結果是一個局部環，恰有一個極大理想：就是你所聚焦的那個點。

給定交換環 R 的素理想 p，其補集 S = R \ p 是一個乘性集（a, b 不在 p 中蘊涵 ab 不在 p 中，正因為 p 是素理想）。局部化 R_p 是分式環 S^{-1}R，由形如 a/s 的形式分式構成，其中 a 在 R 中而 s 不在 p 中。理想 pR_p 是 R_p 唯一的極大理想，故 R_p 是局部環，其剩餘體 R_p / pR_p 是 R/p 的分式體。

在素理想處局部化是正合且性質良好的：R_p 的素理想與 R 中含於 p 的素理想一一對應，所以它「只記住位於 p 之下者」。誠實的告誡是這並非有限——作為形式分式的集合，R_p 通常比 R 大得多——但它是逐莖論證的正確工具，因為諸如「為零」或「序列正合」這類性質可以在每個素理想處局部地檢驗。