局部環

局部環是恰好只有一個極大理想的環——它只有一個「東西消失之處」。從幾何上看，它刻畫函數在某一點的無窮小鄰域中的行為，這正是為什麼局部化與局部環是逐點研究幾何的代數語言。

帶單位元的交換環 R 稱為局部的，如果它有唯一的極大理想 m。一個極其有用的等價判據是：R 是局部的若且唯若它的非單位元構成一個理想，而該理想必然就是 m。因此在局部環中，每個元素要麼是單位，要麼落在 m 裡——毫無歧義，這使得中山引理和許多下降論證得以乾淨地運作。

局部環主要透過局部化產生：把任一環在素理想 P 處局部化，便得到一個局部環，其極大理想對應於 P。剩餘域 R/m 捕捉「在該點的取值」，而 m 及其冪記錄更高階的無窮小資訊。正則局部環、離散賦值環與完備化都是這一觀念的精細化，對代數幾何與數論至關重要。