交換代數
完備化
完備化是「無限放大並允許無窮泰勒展開」的代數版本。局部化已經讓你聚焦於某點附近；完備化再走最後一步，用完整的冪級數行為取代多項式行為，使每個類柯西的逼近序列都真正收斂到環中的某物。它就是從多項式 k[x] 到形式冪級數 k〚x〛，或從整數 Z 到 p-進整數 Z_p 的那一步。
給定環 R 與理想 I，I-進完備化是商系統 R -> ... -> R/I^3 -> R/I^2 -> R/I 的逆極限。一個元素就是模 I 各次冪的一族相容剩餘——一個「關於 I 的冪級數」。自然映射 R -> R-hat 是單射當且僅當所有 I^n 之交為零（克魯爾交定理）；對以 I = m 為極大理想的諾特局部環，完備化給出 m-進完備化 R-hat，它仍是局部環，極大理想由 m 的像生成。
完備化是平坦、正合且保持結構的運算，它保持維數與正則性（R 正則當且僅當 R-hat 正則）。它的威力在於完備局部環遠為剛硬：科恩結構定理說一個含體的完備正則局部環恰是冪級數環 k〚x_1, ..., x_d〛。代價是完備化完全忘掉了整體的、遠處的資訊——它只看見無窮小鄰域，故兩個差異極大的簇在對應光滑點處可以有同構的完備化。
Z 的 (p)-進完備化是 Z_p = Z/p^n Z 的逆極限；一個元素是相容序列 (a_1 mod p, a_2 mod p^2, ...)。同樣地，k[x] 的 (x)-進完備化是冪級數環 k〚x〛。
Z 完備化為 p-進整數；k[x] 完備化為冪級數。
亨澤爾引理在完備局部環中成立：多項式的一個近似根可被精煉成精確根，很像牛頓法。這正是完備化在數論中以及在把解模 p^n 提升時佔核心地位的原因。
又稱
另見