極限

極限是單個物件，它把整張由物件與箭頭組成的圖最優地概括起來，正如積概括一對物件。給定一組物件及其間規定的關係，極限是相容地映向它們全體、並尊重圖中每個箭頭的泛物件。它是積、交、核、拉回與投射極限的範疇論歸宿，這些都是某特定形狀上的極限。

確切地說，固定一個小範疇 J（形狀）與一個函子 D : J -> C（圖）。從物件 X 出發對 D 的一個錐是一族態射 X -> D(j)，每個 J 的物件 j 各一個，且與 D 所送的所有箭頭交換。D 的極限是一個泛錐：一個物件 lim D 帶有一個錐，使得每個別的錐都經由唯一態射分解通過它。泛性質再次迫使其在唯一同構意義下唯一。

極限對形狀敏感：積是離散圖上的極限，等化子是兩條平行箭頭上的極限，拉回是一個角上的極限，投射極限是一條下降鏈上的極限。一切小極限都存在的範疇稱為完備的；Set、Grp、Ring 與 Top 都是完備的。一個關鍵事實是右伴隨函子保持一切極限，這是常用的計算捷徑。