積（範疇論）

範疇論中的積把笛卡兒積的觀念——把兩物配成一對——抽象為純箭頭語言。關鍵洞見是：有序對 (a, b) 與兩條分立資訊（一個 a 與一個 b）是同一份資料。所以兩個物件之積應是這樣一個泛物件：從中可在每個因子上讀出一個座標，而通往它的映射恰是通往每個因子的映射。

形式地說，物件 A 與 B 之積是一個物件 A × B 連同兩個投影態射 p : A × B -> A 與 q : A × B -> B，滿足泛性質：對每個帶有態射 f : X -> A 與 g : X -> B 的物件 X，存在唯一態射 ⟨f, g⟩ : X -> A × B 使得 p ∘ ⟨f, g⟩ = f 且 q ∘ ⟨f, g⟩ = g。於是積是同時映入 A 與 B 的泛方式。

積未必在每個範疇中都存在，但一旦存在便在唯一同構意義下唯一。此構造還原了熟悉的例子：Set 中的積是笛卡兒積，Grp 中是群的直積，Top 中是帶積拓撲的積空間。積恰是無箭頭的兩物件圖上的極限，這正是它何以推廣到任意族之積乃至更廣的原因。