餘積

餘積是積的鏡像，由把每個箭頭反向而得。積是你能映入的泛物件，餘積則是你能映出的泛物件——它把兩個物件捆在一起，使得要定義一個從這捆出發的映射，只需分別定義來自每片的映射。直觀上它是「把 A 與 B 並排放置」而不強加任何相互作用的最經濟方式。

形式地說，A 與 B 之餘積是一個物件 A ⊔ B，連同兩個包含態射 i : A -> A ⊔ B 與 j : B -> A ⊔ B，在對偶意義下是泛的：對每個帶有態射 f : A -> X 與 g : B -> X 的物件 X，存在唯一態射 [f, g] : A ⊔ B -> X 使 [f, g] ∘ i = f 且 [f, g] ∘ j = g。這恰是在對偶範疇中取的積，二者因而是完美的鏡像。

儘管定義對稱，餘積在各範疇中卻面貌迥異。在 Set 中餘積是不交并；在 Vect 與阿貝爾群中，對有限多個因子它與積重合（即直和）；在 Grp 中它是自由積，一個真正龐大且非交換的物件；在交換環中它是在 Z 上的張量積。教訓是：對偶是形式的，而具體答案則不然。