模的直和

直和把若干模並排拼成一個更大的模，各部分之間互不干擾——就像把彼此獨立的數軸疊起來構成平面。每個直和項保留自己的運算，整體的一個元素無非是一個元組，每個部分各取一個。這是模合併時不損失任何資訊的方式：你總能讀出每個分量。

對以 I 中 i 為指標的一族 R-模 (M_i)，直和 ⊕ M_i 是元組 (m_i) 的集合，其中 m_i 屬於 M_i 且只有有限多個 m_i 非零，運算按分量相加與純量乘。直積 ∏ M_i 去掉有限性條件；當 I 有限時二者相同。直和是 R-模範疇中的餘積：從 ⊕ M_i 出發的映射對應於從各 M_i 出發的一族映射。

模 M 是子模 N_1, ..., N_k 的內直和，記作 M = N_1 ⊕ ... ⊕ N_k，如果每個元素都唯一地寫成 n_1 + ... + n_k，其中 n_i 屬於 N_i；等價地 M = N_1 + ... + N_k 且每個 N_j 與其餘項之和只在 0 處相交。把模分解為更簡單（最好是不可分解）的直和項，是結構理論的核心目標之一。