模論
模
模就是把向量空間的想法中的純量從體換成環之後得到的東西。你仍然有可以相加、可以伸縮的向量，但現在純量未必有逆元——你能把一個向量乘以 2，卻未必能除以 2。向量空間裡那些令人舒心的性質（基、維數、補空間）大都變成了可有可無，而哪些性質還能保留下來，正是模論所研究的核心。
確切地說，設 R 是帶單位元 1 的環。一個左 R-模是一個阿貝爾群 (M, +)，配上一個純量乘法 R × M -> M，記為 (r, m) |-> rm，滿足 r(m + n) = rm + rn、(r + s)m = rm + sm、(rs)m = r(sm) 以及 1m = m，對所有 r、s 屬於 R 與 m、n 屬於 M 成立。右模對稱地定義，純量從右邊作用。當 R 交換時兩個概念重合。
模統一了大量不同的對象。體上的模恰好是向量空間；Z 上的模恰好是阿貝爾群（純量作用是被迫的：n 乘 m 就是 m + m + ... + m）；多項式環 k[x] 上的模就是一個向量空間外加一個選定的線性算子（x 作為那個算子作用）。最後這個視角把 k[x] 上的線性代數變成了單個算子的理論，而結構定理由此重新得到約當標準形與有理標準形。
Z/6Z 是一個 Z-模：你能把元素相加、能乘以整數，但 2 沒有逆元，而元素 3 滿足 2·3 = 0，儘管兩個因子都不為零——這種現象在向量空間裡是不可能發生的。
阿貝爾群無非是 Z-模；純量一旦不再可逆，撓就出現了。
條件 1m = m 稱為么正性，幾乎總是預設成立；若沒有它，就可能多出一個 R 在其上作用為零的直和項。在體上，純量不可逆的麻煩消失了，正是這一個事實解釋了為什麼每個向量空間都有基，而大多數模沒有。
又稱
另見