環

環是一個能做加法、減法和乘法的集合——但不承諾能做除法。它抽象了整數的日常算術：兩個整數可以相加、可以取相反數、可以相乘，但 2 除以 3 就跑出了整數之外。環恰好抓住了「兩個相互作用的運算」，而不堅持要求每個非零元素都可逆。

形式地說，環是帶兩個運算（加法與乘法）的集合，其中加法使它成為阿貝爾群（有零元和相反數），乘法滿足結合律，兩者由分配律聯繫起來：a · (b + c) = a · b + a · c（另一側也成立）。有些作者還要求有乘法單位元 1；約定不一，須查閱出處。

環中的乘法不必可交換——方陣環就是一個重要的非交換例子。當乘法確實可交換時，稱該環為交換環，這便是通往那些特別良好之環的門戶：整環（無零因子），以及位於頂端的域（每個非零元素皆可逆）。