理想

理想是環的一個特殊子集，對乘法而言它像一個「黑洞」：把理想中的任何東西乘以環中的任何元素，乘積都會被吸回理想之中。整數裡的偶數就是典範例子——把任何偶數乘以任何整數，結果仍是偶數。正是這種吸收性使理想如此有用。

形式地說，環 R 的子集 I 若在加法下構成子群（對加法與取相反數封閉、含 0），並且吸收乘法：對每個 R 中的 r 和每個 I 中的 a，r · a 與 a · r 都落在 I 中，則 I 是理想。這條吸收條件遠比僅僅在自身內部封閉要強得多——它向外延伸，把與整個環的乘積都拉進來。

理想是環論中正規子群的對應物：它們恰好是你可以「對其取商」、從而構造一個更小的環 R/I 的那些子集，正如你把整數模 n 約化一樣。n 的倍數構成的理想，正產生出模 n 的整數。理想還編碼了整除與因式分解，這正是它們在代數與數論中都居於核心的原因。