零化子

模的零化子精確地記錄了哪些環元素在它上面作用為零——那些把整個模壓平為無的純量。它是提問『這裡到底有多少環真正起作用？』的一種精確方式。零化子越大，環的作用被浪費得越多，模也就越是真正生活在一個更小的商環上。

對 R-模 M，零化子是 Ann_R(M) = { r 屬於 R : 對所有 m 屬於 M 都有 rm = 0 }；當 M 是雙模時它是 R 的雙邊理想，單側情形則是左/右理想。對單個元素 m，零化子 Ann_R(m) = { r : rm = 0 } 是左理想，循環子模 Rm 同構於 R/Ann_R(m)。整個模的零化子是其各元素零化子的交。

模 M 自然地是商環 R/Ann_R(M) 上的忠實模，所以零化子度量了抽象的環與其中真正起作用那部分之間的差距。對交換諾特環上的有限生成模，零化子的根等於其相伴質理想的交，把零化子直接與 M 的支集及準素分解聯繫起來。在主理想整環上，撓元的零化子生成該元素的『階』。