忠實表示

忠實表示是不丟失群的任何資訊的表示：不同的群元素總以不同的線性映射作用。忠實性讓你把抽象的群具體地「看作」一個矩陣群，毫無塌縮——它是群到矩陣群的一次誠實嵌入。

正式地，表示 rho: G -> GL(V) 稱為忠實，若 rho 作為同態是單射，等價地若其核平凡：rho(g) = 恆等迫使 g = e。由於任何表示的核都是 G 的正規子群，一個表示忠實當且僅當該正規子群為 {e}。相反，平凡表示是最大限度不忠實的——除平凡群外，其核為整個 G。

每個有限群都有忠實表示：正則表示就是忠實的，因為若 g 在群代數上作為恆等作用，則 g 乘 e = e 迫使 g = e。更經濟地說，忠實複表示未必不可約，而忠實表示的最小次數是一個微妙的不變量；例如非循環的阿貝爾群沒有忠實的不可約表示，因為阿貝爾群的不可約複表示都是一維的、其像因而循環。