平凡表示

平凡表示是最簡單不過的：群什麼也不做。每個元素在一維空間上都作為恆等映射。它似乎乏味到不值一提，但它在表示的算術中扮演數字 1 的角色——它是張量積的乘法單位，也是一切群不變量的歸宿。

確切地，G 在域 k 上的平凡表示是一維空間 k，作用為對每個 g 屬於 G 都有 rho(g) = 1（恆等標量）。其特徵標是常值函數 chi(g) = 1，並且自動不可約，因為一維空間沒有非零真子空間。在同構意義下平凡表示恰有一個，且對每個群都存在。

其重要性是結構性的。任一表示 V 中被整個 G 固定的向量子空間——不變量 V^G——與平凡表示在 V 中的重數相同，可由內積 (chi_V, chi_trivial) 算出。平凡表示也是表示張量積的單位對象：V 張量 (平凡) 自然同構於 V。