特徵標

特徵標是把整個表示壓縮成群上單一函數的巧妙手法，做法是取每個矩陣的跡。它看似把幾乎一切都丟掉了——一個矩陣縮成一個數——然而奇蹟般地，在複數上特徵標記住了整個表示（直到同構）。它是表示的指紋。

給定 G 的有限維表示 (V, rho)，其特徵標是函數 chi: G -> k，定義為 chi(g) = trace(rho(g))。兩點立見：chi(e) 等於 V 的維數；又因跡在共軛下不變，chi 是類函數——chi(hgh^{-1}) = chi(g)，故只依賴於共軛類。等價的表示有相等的特徵標，因為跡是相似不變量。

在 C 上特徵標威力驚人：兩個複表示同構當且僅當它們有相同的特徵標；一個表示不可約當且僅當其特徵標與自身的內積等於 1；且不可約特徵標構成類函數空間的一組標準正交基。於是特徵標把關於表示的難題化為有限維內積空間上的線性代數。