類函數

類函數是群上無法區分共軛元素的函數——它對 g 與 hgh^{-1} 給出相同的值。這類函數恰是在最深的意義上「尊重對稱」的函數，而特徵標正是其典範例子。類函數空間是整個特徵標理論展開的自然舞台。

正式地，取值於域 k（通常為 C）的 G 上類函數，是在共軛類上取常值的函數 f: G -> k：對所有 g, h 屬於 G 有 f(hgh^{-1}) = f(g)。等價地，f 是 G 的共軛類集上的函數。對有限群，C 上的類函數構成一個向量空間，其維數等於共軛類的個數，自然基由各類的指示函數給出。

核心定理是：不可約特徵標構成此類函數空間的一組標準正交基（在 C 上，對有限 G）。於是每個類函數都是不可約特徵標的唯一線性組合；其中係數為非負整數的組合，恰是真表示的特徵標（當允許係數為負整數時稱虛特徵標）。這正是特徵標理論把表示問題化為有限維線性代數的緣由。