不可約表示

不可約表示是表示論的原子。正如每個整數分解成素數，在良好情形下每個表示都分解成不可約的碎片；理解原子就意味著理解由它們搭建出的一切。不可約表示是指在尊重群作用的前提下無法再被切小的表示。

正式地，G 的表示 V 稱為不可約（或單的），若 V 非零且其唯一的 G 不變子空間只有 0 與 V 本身。所謂 G 不變子空間 W，是指對所有 g 都有 rho(g)W 含於 W——即 W 被每個群元素保持。等價地，V 不可約當且僅當它是群代數 k[G] 上的單模：它沒有非零真子模。

一個表示是否不可約強烈依賴於域。正 n 邊形旋轉群的標準二維實表示在 R 上是不可約的（沒有實的不變直線），但在 C 上變為可約，分裂成兩條複直線。所以不可約性是關於 V 連同 k 的論斷，絕非僅關乎抽象群本身。