群表示

設想你手上有一個抽象的群——比如三角形的對稱群——並且想用它來做計算。最乾淨的辦法是把每個對稱變成一個具體的矩陣，使得複合對稱對應於矩陣相乘。表示恰好就是這樣一部忠於結構的「詞典」：它讓你把抽象的群元素替換成真正能計算的線性映射。

確切地說，群 G 在域 k 上向量空間 V 上的一個表示，是一個群同態 rho，從 G 到 GL(V)，即 V 上可逆線性映射構成的群。等價地，它是 G 透過線性變換在 V 上的作用：每個 g 給出映射 rho(g)，滿足 rho(g)rho(h) = rho(gh) 且 rho(e) 為恆等映射。V 的維數稱為該表示的次數（或維數）。當 V 是有限維 n 並固定一組基時，rho 成為同態 G -> GL(n, k)，即一族 n 乘 n 的可逆矩陣。

一個表示與群代數 k[G] 上的一個模是同一份資料：形式和 sum a_g g 在向量 v 上的作用就是 sum a_g rho(g)v。這一翻譯並非純粹換記號——它讓模論的整套機器（子模、商、直和、半單性）作用到表示上。當存在一個可逆線性映射交織兩個作用，即一次基變換把一族矩陣搬成另一族時，稱這兩個表示等價（同構）。