群代數

群告訴你如何把它的元素相乘，但你不能把它們相加。群代數補上了這一點：它允許你用選定環中的係數作群元素的形式和，於是 2g - 3h 成為合法對象。乘法把群自身的運算分配到這些和上加以延拓。一舉之間，群的純組合便成為一個你可在其中做線性代數的完整的環。

確切地說，給定環 R 與群 G，群代數 R[G] 是以 G 的元素為基的自由 R-模，配以由群法則決定的乘法：(sum a_g * g) 乘 (sum b_h * h) 等於對 g、h 求和的 sum a_g * b_h * (g*h)。它可交換當且僅當 G 是阿貝爾群且 R 可交換。當 R = k 為域且 G 有限時，這是一個維數為 |G| 的 k-代數。

全部要點在於：G 的 R-線性表示恰與 R[G]-模是同一份資料：同態 G -> GL(V) 唯一地延拓為環同態 R[G] -> End(V)。所以表示論變成單個環上的模論，而 R[G] 的結構支配表示如何分解。馬施克定理說 k[G] 半單恰當 char(k) 不整除 |G|。

超出有限群後，此構造仍有用但更微妙。對無限群，R[G] 用有限支撐的和；諸如 C[G] 是否有零因子（卡普蘭斯基猜想）這類問題既深且部分未決。完備群代數或拓撲群代數等變體驅動調和分析以及緊群與李群的表示論。