正則表示

正則表示是群在端詳自己：取群代數——群元素的形式線性組合——讓群以左乘作用其上。它是最重要的單個表示，因為它暗中一次性容納了群的每一個不可約表示，且各自出現的次數恰等於其維數。

正式地，設 G 為有限群，k 為域。（左）正則表示是以 G 的元素為基的向量空間 k[G]，其中 g 的作用把基向量 h 送到基向量 gh，再線性延拓。其次數為 |G|。其特徵標 chi_reg 頗具戲劇性：chi_reg(e) = |G|，而對每個不等於恆等元的 g 有 chi_reg(g) = 0，因為以非恆等元左乘不固定任何基向量，故跡為零。

在特徵不整除 |G| 的代數閉域上，馬施克與舒爾結合給出分解 k[G] = 對各不可約表示 V_i 取直和，每個 V_i 出現 (dim V_i) 份。取維數即重得平方和恆等式 sum (dim V_i)^2 = |G|。於是正則表示是一隻「萬能容器」：分解它等價於列出全部不可約表示，且重數等於維數。