阿廷–韋德伯恩定理

設想有人交給你一個複雜的環，它有個可愛的性質：一切都裂開——每個模都乾淨地碎成單片。你或許預期會有一大群這樣的環。阿廷–韋德伯恩定理給出相反而美麗的驚喜：本質上只有一個配方。每個這樣的環都是除環上矩陣代數的短積，別無其他。它是組織整個學科的分類定理。

確切地說：環 R 為半單當且僅當它同構於有限直積 M_{n_1}(D_1) × ... × M_{n_r}(D_r)，其中每個 D_i 是除環、每個 n_i ≥ 1。資料 (r; n_1, ..., n_r; D_1, ..., D_r) 在重排因子與除環同構意義下唯一。對單阿廷環 r = 1，故 R 是單個矩陣環 M_n(D)。

其證明是結構推理的範本：半單 R 分解為其極小左理想的直和，它們歸併為同型分量，舒爾引理表明單模的自同態構成除環，而雙中心化子模式把 R 實現為該除環上的矩陣。數 n_i 是單模的重數，D_i 是它們的自同態環。

其影響極為深遠。在代數閉域上，每個有限維除代數都是該域本身，所以半單代數只是矩陣代數 M_{n_i}(k) 的乘積；這是有限群特徵標理論背後的代數骨架，其中維數 n_i 是不可約表示的次數，而 n_i 平方之和等於維數這一關係還原出群的階。