除環

域是一個可以隨意做加、減、乘以及對任何非零元做除法的地方，而且乘法次序無關緊要。除環就是當你保留這一切能力——包括除法——卻悄悄放棄乘法可交換這一要求時得到的結構。於是 a*b 與 b*a 可能不同，但每個非零元仍有一個貨真價實、可用來做除法的逆元。它就是一個被允許左右不對稱的域。

確切地說，除環是一個帶單位元 1 ≠ 0 的環，其中每個非零元 a 都有雙邊乘法逆元 a^(-1)，滿足 a*a^(-1) = a^(-1)*a = 1。等價地，它的全體非零元在乘法下構成一個群。交換的除環恰好就是域；有趣的是非交換的情形，常被稱為斜體。

這些對象是整個學科的天然磚塊：阿廷–韋德伯恩定理斷言每個半單環都由除環上的矩陣環拼裝而成，所以理解除環已成功一半。它們在許多方面像域——你仍可在其上構造向量空間並談論維數——但你必須時刻分清左右，因為左純量與右純量不再能互相穿過對方。

一句忠告：有限性會扼殺非交換性。韋德伯恩小定理證明每個有限除環都自動是域。要找到真正非交換的除環，你必須走向無限——最小的經典例子實四元數，是實數上的四維結構。