中心單代數

固定基域 K。在 K 上所有有限維代數中，中心單的那些與 K 繫得盡可能緊：它們沒有非平凡的雙邊理想，且與一切交換的元素只有 K 自身的純量。內部沒有隱藏的更大常數域，也無法剝離出理想。它們是 K 上代數的不可約原子。

確切地說，K 上的中心單代數是一個有限維 K-代數 A，它是單的（理想只有 0 與 A）且其中心 Z(A) 等於 K。由韋德伯恩，每個這樣的 A 都是某個中心為 K 的除代數 D 上的矩陣環 M_n(D)；反之任何這樣的矩陣代數都是中心單的。一個乾淨的內蘊判據：A 在 K 上中心單當且僅當 A 與 K 的代數閉包作張量積後成為全矩陣代數 M_m(K-bar)。

中心單代數攜帶豐富的算術。它們在 K 上的維數總是完全平方 n^2，故稱次數 n。兩個中心單 K-代數的張量積仍是中心單的，且 A 張量 A-op 同構於 K 上的全矩陣代數。這些事實把中心單代數組織成布勞爾群，即理論的核心對象。

它們超越環論而重要的原因：在局部域與整體域上，它們由伽羅瓦上同調分類，這是類域論的引擎。四元數代數是最小的非平凡情形，次數為 2，便已編碼深刻的算術——例如一條二次曲線是否有有理點。