東屋代數

中心單代數生活在域上；在擴張到代數閉包後，它在局部不過是一個矩陣代數。東屋代數就是當你讓基由域換成可交換環時得到的東西——一族在某空間上變動的中心單代數，在每個局部都變得像矩陣，但當你四處移動時可能非平凡地扭轉。它們是環或概形的布勞爾群的恰當框架。

確切地說，可交換環 R 上的東屋代數是一個 R-代數 A，它作為 R-模是忠實、有限生成且投射的，並且其自然映射 A tensor_R A-op -> End_R(A) 是同構。等價地，A 是中心可分的：其中心恰為 R，且作為 R-代數是可分的。當 R 是域時，這恰好還原中心單代數。

定義性同構 A tensor A-op ≅ End_R(A) 是引擎：它推廣了「A 張量 A-op 是矩陣代數」這一域上事實，並使東屋代數的布勞爾等價類在張量積下成為群 Br(R)，逆由反代數給出。在局部，過渡到每個剩餘域或在每個質處完備化後，秩為常數 n^2 的東屋代數變成矩陣環 M_n。

東屋代數在代數幾何中不可或缺，其中概形的布勞爾群——由結構層上的東屋代數裝配，或在上同調上由取值於乘法群的平展上同調群 H^2 給出——阻礙精細模空間的存在，並支撐算術中的布勞爾–馬寧障礙。它們是經典中心單代數故事真正全局、相對的版本。