投射模

投射模是幾乎自由的模——在要緊的用途上自由得足夠了。最乾淨的描述是：它是自由模的一個直和項，一塊能乾淨地分裂出來的部分。這名字來自一個提升性質：從投射模出發的映射總能沿任何滿射被『投射上去』，就像幻燈片透出的光能重新聚焦到選定的平面上。

對 R-模 P 有三種等價定義：(i) P 是某個自由模的直和項，即存在 Q 使 P ⊕ Q 自由；(ii) 每個映到 P 的滿射都分裂，所以 P 是任何映滿到它的模的直和項；(iii) 提升性質：對每個滿射 g : M -> N 與每個映射 f : P -> N，存在提升 h : P -> M 使 g∘h = f。等價地，函子 Hom(P, -) 是正合的。

自由蘊含投射，而在許多環上逆命題也成立——在主理想整環、局部環、或體上的多項式環（奎倫–蘇斯林定理）上，每個有限生成投射模都是自由的。但並非總是如此：在 Z/6Z 上理想 2Z/6Z 是投射的卻非自由；在數域的整數環上，非主理想是投射且非自由的，它們不自由的程度由理想類群度量。