分裂正合序列

分裂正合序列是這樣一種短正合序列：其中間的模乾淨地拆成兩端——擴張是平凡的。分裂是最好的結局：子模 A 在 B 中有補，於是 B 不過是把 A 與 C 並排放置，拼裝過程中沒有任何東西被擰在一起。

短正合序列 0 -> A -i-> B -p-> C -> 0 分裂，如果下列等價條件之一成立：存在收縮 r : B -> A 使 r∘i 等於 A 上的恆等；存在截面 s : C -> B 使 p∘s 等於 C 上的恆等；或 B 是 i(A) 與一個補子模的內直和。每種情形下都有 B ≅ A ⊕ C，且該同構與映射 i 和 p 相容（分裂引理）。

在某些情形下分裂是自動的：任何以投射模結尾的短正合序列都分裂（用提升性質構造截面），任何以內射模開頭的序列也分裂。在體上，向量空間的每個短正合序列都分裂——子空間總有補——這恰恰解釋了為何線性代數比模論簡單得多。