短正合序列

短正合序列是把子模、模與相應商之間的關係打包進單個圖表的最乾淨方式。它表達的是：這裡有一個子對象 A 坐落在 B 之中，而 C 恰好是你把 A 壓縮掉之後剩下的。某種意義上，整個模論就是研究 B 如何由 A 與 C 這兩塊拼裝而成。

形式地說，它是 R-模與同態構成的圖表 0 -> A -> B -> C -> 0，在每個位置都正合：映射 A -> B 是單射，映射 B -> C 是滿射，且 A -> B 的像等於 B -> C 的核。於是 A（同構地）是 B 的子模，而 C 同構於商 B/A。反之，B 的每個子模 A 都給出這樣一個序列，其中 C = B/A。

這套形式的要點在於：B 是 C 被 A 的一個『擴張』，而知道 A 與 C 並不能確定 B：相同的兩端可以用本質不同的方式拼裝。有多少種方式、如何分類，由群 Ext(C, A) 度量。當唯一的擴張就是平凡的 B = A ⊕ C 時，序列分裂；一般情形未必如此，而一般擴張與分裂擴張之間的差距正是同調代數的起點。