同調代數
Ext 函子
Ext 是把 Hom 函子推過導出函子機器所得之物——而它的第一個群回答了一個絕妙具體的問題：一個模能由兩個給定的模以多少種本質不同的方式拼裝出來？Hom(A, B) 只看見直接的映射；Ext^1(A, B) 則看見隱藏的擴張，即 A 與 B 被黏成一個並非二者直和的中間模的種種方式。
形式地說，對 R 模 A 與 B，Ext^n(A, B) 是 Hom(-, B) 在 A 處的第 n 個右導出函子：取 A 的投射分解 P_* -> A，施加 Hom(-, B) 得到上鏈複形，讀取其上同調。（等價地，也可用 B 的內射分解導出 Hom(A, -)；二者一致。）則 Ext^0(A, B) = Hom(A, B)，而 Ext^n 對所有 n > 0 消失，當且僅當 A 投射（或 B 內射）。
Ext^1 的解釋是問題的核心：Ext^1(A, B) 中的元素與短正合序列 0 -> B -> E -> A -> 0 的等價類一一對應，其零元即分裂擴張 E = A ⊕ B。這正是 Ext 之所以分類擴張並探測障礙的原因：非零類就是一種真正的、不分裂的構造 E 的方式。更高階的 Ext 群支配障礙理論，並貫穿形變理論以及群與代數的上同調。
在 Z 上，Ext^1(Z/nZ, Z) ≅ Z/nZ。用 0 -> Z -> Z -> Z/nZ -> 0 分解 Z/nZ 並施加 Hom(-, Z)，得到 Z -> Z（乘以 n）；其餘核 Z/nZ 即 Ext^1。非零類記錄了 Z/nZ 被 Z 的不分裂擴張。
由自由分解算出的 Ext^1(Z/nZ, Z)。
另見